Analiza porównawcza modeli belki swobodnie podpartej
Wprowadzenie
Przedmiotem niniejszego projektu jest analiza pracy belki swobodnie podpartej pod wpływem obciążenia oraz porównanie wyników uzyskanych przy użyciu różnych modeli obliczeniowych.
W praktyce inżynierskiej ten sam problem konstrukcyjny może być analizowany na wiele sposobów — od bardzo dokładnych modeli przestrzennych (3D), po znacznie uproszczone modele jednowymiarowe (1D). Każde z tych podejść wiąże się z określonymi założeniami oraz uproszczeniami, które wpływają na dokładność wyników, czas obliczeń oraz złożoność modelu.
Celem projektu jest zrozumienie:
• jak różne podejścia modelowania wpływają na wyniki analizy,
• jakie są konsekwencje przyjmowanych uproszczeń,
• kiedy prostsze modele mogą być stosowane zamiast bardziej złożonych.
W ramach projektu analizowany będzie ten sam element konstrukcyjny — belka swobodnie podparta — przy użyciu kilku różnych metod modelowania. Pozwoli to na bezpośrednie porównanie wyników oraz ocenę przydatności poszczególnych modeli w zastosowaniach inżynierskich.
Maksymalne ugięcie belki wolnopodpartej obciążonej równomiernie (ciągle)
Dla belki wolnopodpartej (swobodnie podpartej na obu końcach), obciążonej równomiernie na całej długości, maksymalne ugięcie występuje w środku rozpiętości i wynosi:
$$w_{max} = \frac{5 q L^4}{384 \, E \, I}$$gdzie:
• $w_{max}$ – maksymalne ugięcie belki [m]
• $q$ – intensywność obciążenia ciągłego (równomiernego) [N/m]
• $L$ – długość belki (rozpiętość między podporami) [m]
• $E$ – moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej materiału) [Pa]
• $I$ – moment bezwładności przekroju poprzecznego względem osi zginania [m$^4$]
Należy pamiętać, że:
• Wzór obowiązuje dla małych ugięć (teoria belek Eulera-Bernoulliego).
• Belka musi być liniowo sprężysta i jednorodna.
• Obciążenie \( q \) jest stałe na całej długości belki.
• Maksymalne ugięcie występuje w środku belki $x = L/2$.
Zakres projektu
Należy opracować i porównać cztery modele tej samej belki, wykorzystując różne podejścia modelowania:
1. Model bryłowy (3D) – z użyciem elementów typu C3D8R
2. Model tarczowy (2D, PSN) – stan płaskiego naprężenia CPS4
3. Model powłokowy (płyta) – elementy typu S4R
4. Model belkowy (1D) – elementy belkowe B31
Geometria modeli
Kolorem czerwonym zaznaczono geometrię, którą należy zdefiniować w zależności od przyjętego modelu:
• dla modelu 3D – pełna bryła,
• dla modelu tarczowego – powierzchnia środkowa w płaszczyźnie obciążenia,
• dla modelu powłokowego – powierzchnia środkowa prostopadła do kierunku obciążenia,
• dla modelu belkowego – oś belki.
Parametry modelu
• długość L mierzona wzdłuż osi x
• wysokość H mierzona wzdłuż osi y
• szerokość B mierzona wzdłuż osi z
• obciążenie q zadane jako obciążenie powierzchniowe w [kN/m$^2$], należy je odpowiednio przeliczyć w zależności od modelu. Kierunek tego obciążenia odpowiada osi y
Warunki brzegowe:
- belka swobodnie podparta,
- podparcie na dwóch skrajnych krawędziach.
Materiał:
- liniowo sprężysty, współczynnik Poissona równy 0.33
- małe odkształcenia.
Lista Parametrów:
| Numer | L [m] | B [m] | H [m] | E [GPa] | q [kN/m$^2$] |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.0 | 0.10 | 0.60 | 180 | 1.5 |
| 2 | 3.5 | 0.12 | 0.65 | 190 | 2.5 |
| 3 | 4.0 | 0.14 | 0.60 | 200 | 2.0 |
| 4 | 4.5 | 0.16 | 0.70 | 185 | 1.5 |
| 5 | 5.0 | 0.18 | 0.80 | 210 | 2.5 |
| 6 | 5.5 | 0.20 | 0.55 | 205 | 1.5 |
| 7 | 6.0 | 0.22 | 0.65 | 200 | 2.5 |
| 8 | 3.2 | 0.24 | 0.60 | 185 | 3.5 |
| 9 | 3.7 | 0.20 | 0.65 | 175 | 1.5 |
| 10 | 4.2 | 0.15 | 0.70 | 170 | 1.5 |
| 11 | 4.7 | 0.17 | 0.65 | 195 | 3.5 |
| 12 | 5.2 | 0.19 | 0.78 | 210 | 2.0 |
| 13 | 5.7 | 0.20 | 0.75 | 200 | 1.5 |
| 14 | 5.1 | 0.20 | 0.65 | 170 | 2.2 |
| 15 | 4.9 | 0.25 | 0.70 | 210 | 1.7 |
| 16 | 4.8 | 0.29 | 0.60 | 205 | 1.8 |
Model bryłowy
Model bryłowy dla belki wolnopodpartej należy opracować w analogiczny sposób jak na pierwszych laboratoriach, zmieniając odpowiednie wymiary belki oraz warunki podparcia. W przypadku belki wolnopodpartej należy zablokować ruch dla dwóch skrajnych krawędzi.
Dla modelu, jak na rysunku, zostały zablokowane przemieszczenia U2 i U3 dla lewej dolnej krawędzi oraz U1, U2 i U3 dla prawej dolnej krawędzi. Do odczytywania wartości służy narzędzie Probe values. Należy wskazać odpowiedni węzeł oby odczytać wartość przemieszczenia pionowego.
Tarcza
Tarczę (ścianę) modelujemy jako płaski element powłokowy. Przy tworzeniu parta wybieramy następujące ustawienia:
Podczas tworzenia sekcji należy wprowadzić grubość tarczy. W naszym przypadku będzie to wartość parametru B. Wpisujemy ją w oknie Edit Section.
W module Load należy zadać warunki brzegowe dla dwóch skrajnych dolnych wierzchołków. Dla pierwszego punktu blokujemy ruch w pionie, natomiast dla drugiego – w pionie i w poziomie. Kolejność wyboru punktów ma być zgodnia z modelem bryłowym. Do górnej krawędzi przykładamy ciśnienie. Wartość ciśnienia należy odpowiednio przeliczyć na równoważne obciążenie liniowe.
Do modelu należy przypisać odpowiedni typ elementu skończonego. W naszym zadaniu jest to element CPS4, który opisuje płaski stan naprężenia.
